惯性环节微分方程解法

一般典型环节有6种：

1，比例环节：运动方程式:c(t)=K·r(t)
传递函数：(G)s=K

单位阶跃响应：C(s)=G(s)R(s)=K/s
C(t)=K·1(t)

2，惯性环节：

微分方程式： T·[dc·(t)/dt]+c(t)=r(t)
传递函数：G(s)=1/(Ts+1)

3，积分环节：
传递函数：G(s)=1/Ts
单位阶跃响应：C(s)=1/Ts·1/s

4，微分环节：
微分方程式：c(t)=T·dr(t)/dt

5，振荡环节

6，延迟环节

对积分环节，积分时间常数T的数值等于输出信号变化到与输入信号的阶跃变化量相等时所经过的一段时间。在单位阶跃响应曲线上就能确定。

对惯性环节，时间常数T就是当输入信号为阶跃函数时，输出信号以起始速度变化到最后平衡值所需的时间。从单位阶跃响应曲线的起始点做切线与最后平衡值相交，则起始点到此交点所经历的时间就是惯性环节的时间常数T。

对于n阶线性定常系统，由线性性和叠加原理，在零初值条件下，系统的单位阶跃响应函数的导数为该系统的单位脉冲响应函数。

微分方程怎么解？

1 微分方程

要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度v = d x d t v=\frac{dx}{dt}v=

，即每一时刻距离的变化；而加速度a = d v d t a=\frac{dv}{dt}a=

，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如：y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+qy

′

(x)=py+q。

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如：∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)

∂t

∂T

(x,y,t)=

∂x

∂

(x,y,t)+

∂y

∂

(x,y,t)

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

微分方程

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程

形如：

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)

′

+p(x)y=q(x)

若：

q ( x ) = 0 q(x)=0q(x)=0，则是一阶线性齐次微分方程；

q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0q(x)

=0，则是一阶线性非齐次微分方程；

微分方程怎么解？

微分方程的解根据方程类型而定，以下为具体解法。

一、一阶微分方程

1.可分离变量方程

若一阶微分方程y'=f(x,y)可以写成dy/dx=p(x)q(y),则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx,两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。

2.齐次方程

将齐次方程通过代换将其化为可分离变量方程。令u=y/x,即y=ux,则dy/dx=u+x*du/dx,齐次方程dy/dx=φ（y/x）化为u+x*du/dx=φ(u)，分离变量得du/φ(u)-u=dx/x,两边积分

∫du/φ(u)-u=∫dx/x后即得齐次方程的通解。

3.一阶线性方程

对于一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为y= e ^-∫P（x）dx (∫Q(x)*e ^∫P（x）dx+C)

4.伯努利方程

伯努利方程y'+P(x)y=Q(x)y^n(n∈R,n≠0，1)的通解为z=y^1-n= e ^-∫(1-n)P（x）dx (∫(1-n)Q(x)*e ^∫(1-n)P（x）dx dx+C)

二、可降阶的二阶微分方程

y”=f(x)型方程——缺y，y'
对于此类方程，只要连续积分两次，即可得原方程的通解.

y”=f(x，y')型方程——缺y
令y'=p，则y''=p'=dp/dx，原方程降为p(x)的一阶方程p'=f(x,p).设其通解为
p=φ(x，C1)，即y'=φ(x，C1)，两边积分即可得原方程的通解y= ∫φ(x，C1)dx+C2.

y”=f(y，y’)型方程——缺x
具体变换过程如下：
令y'=p,则y''=p'=dp/dx=p*dp/dx,原方程降为一阶方程p*dp/dy=f(y,p)
设其通解为p=φ(y，C1),分离变量有 dy /φ(y,C1)=dx，两边积分即得其通解为
∫dy/φ(y,C1)x+C2

三、二阶线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程y''+py'+qy=0，根据其特征方程r^2+pr+q=0根不同情况，其通解有以下三种形式：

(1)特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根 r1,r2时，通解为Y=C1e^r1x+C2e^r2x

(2)特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根r时，通解为Y=(C+C2x)e^rx

(3)特征方程r2+pr+q=0有一对共轭复根r=a±iβ时，通解为Y=e^αx *(C1cos βx+C2sin βx).

比例环节和惯性环节的主要差别是什么

1、效果不同

①比例环节会使信号的传递没有惯性；

②惯性环节可以通过时间常数来反映惯性。

2、性质不同

①比例环节的输出由始至终不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化；

②惯性环节的输出直到过渡结束才与输入同步按比例变化。

3、内容不同

①比例环节的微分方程为c(t)=Kr(t)；

②惯性环节的微分方程为Tdy(t)/dt+y(t)=kx(t)。

参考资料来源：百度百科-比例环节

参考资料来源：百度百科-惯性环节

六种典型环节的阶跃响应曲线