三角形内心外心重心垂心（三角形内心外心重心垂心的向量关系）

三角形内心外心重心垂心

定义：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。三角形的内心 定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，也是内切圆的圆心。

探索任意三角形的内心、外心、重心、垂心是否共线，答案是它们确实共线，这条线被称为欧拉线。证明如下：首先，构造等腰三角形ABC的外接圆，连接并延长BO，交外接圆于点D。接着，连接AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，并设AM交OH于点G’。通过观察，我们可以发现BD是直径，因此∠BAD、∠BCD是直角。

重心是三角形三条中线的交点，其中每条中线将对应边分为两部分，其长度比为2：1。 内心是三角形三内角平分线的交点，同时也是内切圆的圆心。它到三角形三边的距离相等。 外心是三角形三条中垂线的交点，也是外接圆的圆心。它到三角形三个顶点的距离相等。 垂心是三角形三条高线的交点。

外心：三角形外接圆的圆心，通过圆周角定理可以推导，同弧所对圆周角为圆心角的一半。半圆所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径。已知直径或90°圆周角可辅助作图。重心：三角形三条中线的交点。

任意三角形的内心,外心,重心,垂心是否共线?怎么证明?

1、探索任意三角形的内心、外心、重心、垂心是否共线，答案是它们确实共线，这条线被称为欧拉线。证明如下：首先，构造等腰三角形ABC的外接圆，连接并延长BO，交外接圆于点D。接着，连接AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，并设AM交OH于点G’。通过观察，我们可以发现BD是直径，因此∠BAD、∠BCD是直角。

2、欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：如图，三角形ABC，HGO分别是其垂心，重心和外心，连接BO并延长，和外接圆O相交于D，连接AH，AD，CD和CH。

3、旁心是指三角形某一边外角的平分线与其他两边的垂直平分线的交点。通过证明EO=FO=DO，进一步确认旁心的存在。通过证明△ADO与△AFO、△FCO与△CEO全等，我们得出EO=FO=DO，证明了旁心的存在。通过上述证明，我们能够确认三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心均存在，并且它们都有明确的几何性质。

4、三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。

5、三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。

三角形的外心、内心、中心、重心、垂心各是什么?

外心是三角形三条中垂线的交点，也是外接圆的圆心。它到三角形三个顶点的距离相等。 垂心是三角形三条高线的交点。高线是从一个顶点垂直于对边的线段。这五个特殊的点被称为三角形的“四心”。 重心是三角形每个外角的平分线的交点，也称为旁切圆的圆心。

垂心是三角形的三条高的交点。每条高都是从顶点垂直落到对边上的线段。 在正三角形中，重心、垂心、外心、内心是同一个点。这个点不仅是正三角形的外接圆心，也是三角形各边的垂直平分线的交点。 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，同时也是三角形外接圆的圆心。

垂心：三角形的垂心是各边上的高线交汇的点。在直角三角形中，三个高线形成六个直角，形成三个相似三角形，且四个点共圆。外心：外心是三角形三边的垂直平分线交汇的点，能帮助构建三角形的外接圆。内心：内心是三角形的三个内角平分线交汇的点，可帮助构建三角形的内切圆。

旁心：三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点，称为旁心。旁心是三角形的旁切圆的圆心，它与三角形的三个顶点分别构成相切于三角形一边的圆。对于等边三角形而言，其内心、外心、垂心和重心重合，这个特殊的点称为等边三角形的中心，同时也是它的内切圆、外接圆、旁切圆的圆心。

重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心；垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

三角形的重心、外心、垂心、内心有什么关系?

1、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点；外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点；内心：三角形的三条内角平分线交于一点。三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

2、内心是三角形三条内角平分线的交点：外心是三角形三边垂直平分线的交点：重心是三角形三条中线的交点：垂心是三角形三条高线的交点或三条高线所在直线的交点：旁心是三角形外角角平分线的交点：它们之间没有关系，若要找关系，只有当三角形是等边三角形时，内心、外心、重心、垂心这四心重合。

3、三角形的重心、内心、外心和垂心具有特定的向量关系。若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=0。若P是△ABC的垂心，则有PAPB=PBPC=PAPC。若P是△ABC的内心，则有aPA+bPB+cPC=0，其中a、b、c为三边长度。

4、重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心；垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

The End