导数与微分（导数与微分在经济生活中的应用）

微分和导数是一回事吗

微分和求导不是一回事。导数是微分之商，导数的几何意义是函数图像在某一点处的斜率，而微分是在切线方向上函数因变量的增量。区别微分定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

性质不同 导数：是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

这两者是不同的，粗略来看很多人会认为这两者是一样的，但是其数学含义是不同的，而且严格说两者不是相等的关系。从数学符号的意义上来说，dy与Δy是不同的，dx与Δx也是不同的。一般地，Δ~代表做“差（分）”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。

微分不是求导。定义不同 微分：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。求导：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

微分 = 导数 = differentiation，这在英文中，是没有任何区别的；微分 ≠ 导数，这是中文微积分的概念，不是国际微积分的概念；按照中国微积分的概念：微分 dy = y dx；而求导的过程，是运用链式求导法则 = chain rule。

函数在某点处的微分表示的是函数在该点附近的变化率乘以变化量，即微分 = 导数 × dx。具体来说，dy = f(x) dx 表示的是函数f(x)在x点处的导数乘以一个无穷小量dx所带来的y值的变化。在微积分教材中，我们常常看到 dy = f(x) Δx 的表述，这种写法并不准确。

微分和导数有什么区别和联系呢?

1、本质不同 求导：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。微分：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

2、导数和微分区别：意义差别、概念范围差别。意义差别 导数的意义是指导数在几何上表现为切线的斜率，对于一元函数，某一点的导数就是平面图形上某一点的切线斜率；对于二元函数而言，某一点的导数就是空间图形上某一点的切线斜率。微分的意义是指在点某一点附近，可以用切极限小线段来近似代替曲线段。

3、区别： 含义不同 导数指的是函数的极限变化率，即函数在某一点上的瞬时变化率。在数学上，导数可以描述函数曲线在某一点处的切线斜率。微分指的是函数的微小变化，即函数在某一点上的局部变化。微分可以用来表示函数值的小变化，以及函数在某一点上的切线方程式。

4、本质不同 导数是描述函数变化的快慢，微分是描述函数变化的程度。导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。而微分是一个函数表达式，用于自变量产生微小变化时计算因变量的近似值。

5、联系：微分和导数之间存在紧密的数学关系，即导数可以看作是微分的商，即导数f(x)等于微分dy与自变量增量dx的商，即f(x) = dy/dx。这意味着微分是导数的线性主部，当dx很小时，函数值的变化量主要由微分决定。

6、性质不同 导数：是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

微分与导数的关系

1、二者的关系，现在的微积分是这么讲的，dy=f(x)dx或者dy/dx=f(x)是导数，dx， dy是微分，也就是微分的概念是由导数推导出来的，其中，dx是x的变化量，即dx=deltaX， dy=f(x)dx.如果你学的是高数的话，知道了导数，自然就知道dy了，这就可以了。

2、微分：基本法则 求导：基本求导公式 给出自变量增量 ；得出函数增量 ；作商 ；求极限 。应用不同 微分：法线，我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

3、微分就是函数中变量或者自变量的微小变化值，记作dy和dx等，而对于一个函数而言，其导数就是函数变量微分和自变量微分的比值，也就是dy/dx=f (x)或写作dy=f (x)dx因此，导数也叫做微商。

4、一元函数中可导与可微等价。导数是函数图像在某一点处的斜率，是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx--0时的比值。微分的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

5、导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx--0时的比值。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标变化率和横坐标变化率的比值。

6、性质不同 dy：表示微分，dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。Δy：表示函数的增量；自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)。表达式不同。dy：=f(x)dx；f(x)表示函数f(x)的导数。Δy：=f(x+Δx)-f(x)。

微分法则和求导法则有啥区别呢?不是一回事吗?

1、不是一回事。区别如下：两者定义不同 微分法则：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。求导法则：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

2、基本法则不同 微分：基本法则 求导：基本求导公式 给出自变量增量 ；得出函数增量 ；作商 ；求极限 。应用不同 微分：法线，我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

3、求微分和求导不一样，定义不同。求微分：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。求导：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

The End